Résoudre (1+sqrt{2}+sqrt{3})(2+sqrt{2}-sqrt{6})-(sqrt{3}-1)^2

$$( 1 + \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } ) ( 2 + \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } ) - ( \sqrt { 3 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Évaluer

$$2\sqrt{3}\approx 3,464101615$$

Étapes de la solution

Utilisez la distributivité pour multiplier 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} par 2+\sqrt{2}-\sqrt{6} et combiner les termes semblables.

$$2+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$2+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+2-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Additionner 2 et 2 pour obtenir 4.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Factoriser 6=2\times 3. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{2\times 3} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Multiplier \sqrt{2} et \sqrt{2} pour obtenir 2.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Combiner -2\sqrt{3} et 2\sqrt{3} pour obtenir 0.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Pour multiplier \sqrt{3} et \sqrt{2}, multipliez les nombres sous la racine carrée.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Combiner -\sqrt{6} et \sqrt{6} pour obtenir 0.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Factoriser 6=3\times 2. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{3\times 2} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{3}\sqrt{2}.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Multiplier \sqrt{3} et \sqrt{3} pour obtenir 3.

$$4+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Combiner 3\sqrt{2} et -3\sqrt{2} pour obtenir 0.

$$4-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$4-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1\right)$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4-\left(3-2\sqrt{3}+1\right)$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$4-\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

Pour trouver l’opposé de 4-2\sqrt{3}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4-4+2\sqrt{3}$$

Soustraire 4 de 4 pour obtenir 0.

$$2\sqrt{3}$$