Résoudre (sqrt{7}+3)^2-(sqrt{14}-sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 7 } + 3 ) ^ { 2 } - ( \sqrt { 14 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Évaluer

$$10\sqrt{7}\approx 26,457513111$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{7}+3\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{7}\right)^{2}+6\sqrt{7}+9-\left(\sqrt{14}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{7} est 7.

$$7+6\sqrt{7}+9-\left(\sqrt{14}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Additionner 7 et 9 pour obtenir 16.

$$16+6\sqrt{7}-\left(\sqrt{14}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{14}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$16+6\sqrt{7}-\left(\left(\sqrt{14}\right)^{2}-2\sqrt{14}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Le carré de \sqrt{14} est 14.

$$16+6\sqrt{7}-\left(14-2\sqrt{14}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Factoriser 14=2\times 7. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{2\times 7} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{2}\sqrt{7}.

$$16+6\sqrt{7}-\left(14-2\sqrt{2}\sqrt{7}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplier \sqrt{2} et \sqrt{2} pour obtenir 2.

$$16+6\sqrt{7}-\left(14-2\times 2\sqrt{7}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplier -2 et 2 pour obtenir -4.

$$16+6\sqrt{7}-\left(14-4\sqrt{7}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$16+6\sqrt{7}-\left(14-4\sqrt{7}+2\right)$$

Additionner 14 et 2 pour obtenir 16.

$$16+6\sqrt{7}-\left(16-4\sqrt{7}\right)$$

Pour trouver l’opposé de 16-4\sqrt{7}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$16+6\sqrt{7}-16+4\sqrt{7}$$

Soustraire 16 de 16 pour obtenir 0.

$$6\sqrt{7}+4\sqrt{7}$$

Combiner 6\sqrt{7} et 4\sqrt{7} pour obtenir 10\sqrt{7}.

$$10\sqrt{7}$$

Développer

$$10 \sqrt{7} = 26,457513111$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{7}+3\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{7}\right)^{2}+6\sqrt{7}+9-\left(\sqrt{14}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{7} est 7.

$$7+6\sqrt{7}+9-\left(\sqrt{14}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Additionner 7 et 9 pour obtenir 16.

$$16+6\sqrt{7}-\left(\sqrt{14}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{14}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$16+6\sqrt{7}-\left(\left(\sqrt{14}\right)^{2}-2\sqrt{14}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Le carré de \sqrt{14} est 14.

$$16+6\sqrt{7}-\left(14-2\sqrt{14}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Factoriser 14=2\times 7. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{2\times 7} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{2}\sqrt{7}.

$$16+6\sqrt{7}-\left(14-2\sqrt{2}\sqrt{7}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplier \sqrt{2} et \sqrt{2} pour obtenir 2.

$$16+6\sqrt{7}-\left(14-2\times 2\sqrt{7}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplier -2 et 2 pour obtenir -4.

$$16+6\sqrt{7}-\left(14-4\sqrt{7}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$16+6\sqrt{7}-\left(14-4\sqrt{7}+2\right)$$

Additionner 14 et 2 pour obtenir 16.

$$16+6\sqrt{7}-\left(16-4\sqrt{7}\right)$$

Pour trouver l’opposé de 16-4\sqrt{7}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$16+6\sqrt{7}-16+4\sqrt{7}$$

Soustraire 16 de 16 pour obtenir 0.

$$6\sqrt{7}+4\sqrt{7}$$

Combiner 6\sqrt{7} et 4\sqrt{7} pour obtenir 10\sqrt{7}.

$$10\sqrt{7}$$