Résoudre (sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{6}+sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Évaluer

$$-4\sqrt{3}-6\approx -12,92820323$$

Étapes de la solution

Considérer \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$5-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$5-3-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Soustraire 3 de 5 pour obtenir 2.

$$2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$2-\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Le carré de \sqrt{6} est 6.

$$2-\left(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Factoriser 6=2\times 3. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{2\times 3} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$2-\left(6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplier \sqrt{2} et \sqrt{2} pour obtenir 2.

$$2-\left(6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplier 2 et 2 pour obtenir 4.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+2\right)$$

Additionner 6 et 2 pour obtenir 8.

$$2-\left(8+4\sqrt{3}\right)$$

Pour trouver l’opposé de 8+4\sqrt{3}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2-8-4\sqrt{3}$$

Soustraire 8 de 2 pour obtenir -6.

$$-6-4\sqrt{3}$$