Résoudre (left(1+2iright)i^5+{left(1-i/1+iright)}^3)

$$( \left( 1+2i \right) { i }^{ 5 } + { \left( \frac{ 1-i }{ 1+i } \right) }^{ 3 } )$$

Évaluer

$$-2+2i$$

Étapes de la solution

Calculer i à la puissance 5 et obtenir i.

$$\left(1+2i\right)i+\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{3}$$

Multiplier 1+2i et i pour obtenir -2+i.

$$-2+i+\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{3}$$

Multiplier le numérateur et le dénominateur de \frac{1-i}{1+i} par le conjugué complexe du dénominateur, 1-i.

$$-2+i+\left(\frac{\left(1-i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}\right)^{3}$$

Effectuez les multiplications dans \frac{\left(1-i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}.

$$-2+i+\left(\frac{-2i}{2}\right)^{3}$$

Diviser -2i par 2 pour obtenir -i.

$$-2+i+\left(-i\right)^{3}$$

Calculer -i à la puissance 3 et obtenir i.

$$-2+i+i$$

Additionner -2+i et i pour obtenir -2+2i.

$$-2+2i$$

Partie réelle

$$-2$$

Étapes de la solution

Calculer i à la puissance 5 et obtenir i.

$$Re(\left(1+2i\right)i+\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{3})$$

Multiplier 1+2i et i pour obtenir -2+i.

$$Re(-2+i+\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{3})$$

Multiplier le numérateur et le dénominateur de \frac{1-i}{1+i} par le conjugué complexe du dénominateur, 1-i.

$$Re(-2+i+\left(\frac{\left(1-i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}\right)^{3})$$

Effectuez les multiplications dans \frac{\left(1-i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}.

$$Re(-2+i+\left(\frac{-2i}{2}\right)^{3})$$

Diviser -2i par 2 pour obtenir -i.

$$Re(-2+i+\left(-i\right)^{3})$$

Calculer -i à la puissance 3 et obtenir i.

$$Re(-2+i+i)$$

Additionner -2+i et i pour obtenir -2+2i.

$$Re(-2+2i)$$

La partie réelle de -2+2i est -2.

$$-2$$