Résoudre (10/sqrt{5}-5/sqrt{3})(2/sqrt{3}+4/sqrt{5})

$$( \frac { 10 } { \sqrt { 5 } } - \frac { 5 } { \sqrt { 3 } } ) ( \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } + \frac { 4 } { \sqrt { 5 } } )$$

Évaluer

$$\frac{14}{3}\approx 4,666666667$$

Résumé des étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{10}{\sqrt{5}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{5}.

$$\left(\frac{10\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}-\frac{5}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\left(\frac{10\sqrt{5}}{5}-\frac{5}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Diviser 10\sqrt{5} par 5 pour obtenir 2\sqrt{5}.

$$\left(2\sqrt{5}-\frac{5}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{5}{\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{3}.

$$\left(2\sqrt{5}-\frac{5\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\left(2\sqrt{5}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier 2\sqrt{5} par \frac{3}{3}.

$$\left(\frac{3\times 2\sqrt{5}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Étant donné que \frac{3\times 2\sqrt{5}}{3} et \frac{5\sqrt{3}}{3} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{3\times 2\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Effectuez les multiplications dans 3\times 2\sqrt{5}-5\sqrt{3}.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{2}{\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{3}.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{4}{\sqrt{5}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{5}.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}\right)$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de 3 et 5 est 15. Multiplier \frac{2\sqrt{3}}{3} par \frac{5}{5}. Multiplier \frac{4\sqrt{5}}{5} par \frac{3}{3}.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{5\times 2\sqrt{3}}{15}+\frac{3\times 4\sqrt{5}}{15}\right)$$

Étant donné que \frac{5\times 2\sqrt{3}}{15} et \frac{3\times 4\sqrt{5}}{15} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\times \frac{5\times 2\sqrt{3}+3\times 4\sqrt{5}}{15}$$

Effectuez les multiplications dans 5\times 2\sqrt{3}+3\times 4\sqrt{5}.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\times \frac{10\sqrt{3}+12\sqrt{5}}{15}$$

Multiplier \frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3} par \frac{10\sqrt{3}+12\sqrt{5}}{15} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur.

$$\frac{\left(6\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(10\sqrt{3}+12\sqrt{5}\right)}{3\times 15}$$

Multiplier 3 et 15 pour obtenir 45.

$$\frac{\left(6\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(10\sqrt{3}+12\sqrt{5}\right)}{45}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 6\sqrt{5}-5\sqrt{3} par chaque terme de 10\sqrt{3}+12\sqrt{5}.

$$\frac{60\sqrt{3}\sqrt{5}+72\left(\sqrt{5}\right)^{2}-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Pour multiplier \sqrt{3} et \sqrt{5}, multipliez les nombres sous la racine carrée.

$$\frac{60\sqrt{15}+72\left(\sqrt{5}\right)^{2}-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\frac{60\sqrt{15}+72\times 5-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Multiplier 72 et 5 pour obtenir 360.

$$\frac{60\sqrt{15}+360-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{60\sqrt{15}+360-50\times 3-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Multiplier -50 et 3 pour obtenir -150.

$$\frac{60\sqrt{15}[phone]\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Soustraire 150 de 360 pour obtenir 210.

$$\frac{60\sqrt{15}+210-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Pour multiplier \sqrt{3} et \sqrt{5}, multipliez les nombres sous la racine carrée.

$$\frac{60\sqrt{15}+210-60\sqrt{15}}{45}$$

Combiner 60\sqrt{15} et -60\sqrt{15} pour obtenir 0.

$$\frac{210}{45}$$

Réduire la fraction \frac{210}{45} au maximum en extrayant et en annulant 15.

$$\frac{14}{3}$$

Factoriser

$$\frac{2 \cdot 7}{3} = 4\frac{2}{3} = 4,666666666666667$$