Résoudre y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Calculer y

$$y=6$$

$$y=9$$

Étapes d’utilisation de la factorisation

Ajouter 54 aux deux côtés.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Pour résoudre l’équation, facteur y^{2}-15y+54 à l’aide de la y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-15 ab=54$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

La solution est la paire qui donne la somme -15.

$$a=-9 b=-6$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(y+a\right)\left(y+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez y-9=0 et y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Ajouter 54 aux deux côtés.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que y^{2}+ay+by+54. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

La solution est la paire qui donne la somme -15.

$$a=-9 b=-6$$

Réécrire y^{2}-15y+54 en tant qu’\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Factorisez y du premier et -6 dans le deuxième groupe.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Factoriser le facteur commun y-9 en utilisant la distributivité.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez y-9=0 et y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$y^{2}-15y=-54$$

Ajouter 54 aux deux côtés de l’équation.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

La soustraction de -54 de lui-même donne 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Soustraire -54 à 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -15 à b et 54 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Calculer le carré de -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Multiplier -4 par 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Additionner 225 et -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

L’inverse de -15 est 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{15±3}{2} lorsque ± est positif. Additionner 15 et 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Diviser 18 par 2.

$$y=9$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{15±3}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 3 à 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Diviser 12 par 2.

$$y=6$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=9 y=6$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Divisez -15, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{15}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{15}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{15}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Additionner -54 et \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor y^{2}-15y+\frac{225}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Ajouter \frac{15}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$y=9 y=6$$