Résoudre x^6=((6x^3)-5^3)

$${ x }^{ 6 } =((6 { x }^{ 3 } )- { 5 }^{ 3 } )$$

Calculer x (solution complexe)

$$x\in \sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Calculer 5 à la puissance 3 et obtenir 125.

$$x^{6}=6x^{3}-125$$

Soustraire 6x^{3} des deux côtés.

$$x^{6}-6x^{3}=-125$$

Ajouter 125 aux deux côtés.

$$x^{6}-6x^{3}+125=0$$

Substituer t pour x^{3}.

$$t^{2}-6t+125=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -6 pour b et 125 pour c dans la formule quadratique.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 125}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2}$$

Résoudre l’équation t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$t=3+2\sqrt{29}i t=-2\sqrt{29}i+3$$

Depuis x=t^{3}, les solutions sont obtenues en résolvant l’équation pour chaque t.

$$x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$