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x^{2}-x-1=0
Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}
Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -1 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}
Multiplier -4 par -1.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}
Additionner 1 et 4.
x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}
L’inverse de -1 est 1.
x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}
Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} lorsque ± est positif. Additionner 1 et \sqrt{5}.
x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}
Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{5} à 1.
x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}
L’équation est désormais résolue.
x^{2}-x-1=0
Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.
x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)
Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.
x^{2}-x=-\left(-1\right)
La soustraction de -1 de lui-même donne 0.
x^{2}-x=1
Soustraire -1 à 0.
x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}
DiVisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.
x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}
Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.
x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}
Additionner 1 et \frac{1}{4}.
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}
Factoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}
Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.
x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}
Simplifier.
x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}
Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.