Résoudre x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Calculer x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -1 pour b et -1 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Résoudre l' x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} de l'équation lorsque la ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Pour que le produit soit positif, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} et x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} doivent être tous les deux négatifs ou les deux positifs. Considérer le cas lorsque x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} et x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} sont tous les deux négatifs.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Considérer le cas lorsque x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} et x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} sont tous les deux positifs.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$