Résoudre x^2-4x-16>0

$${ x }^{ 2 } -4x-16 > 0$$

Calculer x

$$x\in \left(-\infty,2-2\sqrt{5}\right)\cup \left(2\sqrt{5}+2,\infty\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-4x-16=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -4 pour b et -16 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2}$$

Résoudre l’équation x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$\left(x-\left(2\sqrt{5}+2\right)\right)\left(x-\left(2-2\sqrt{5}\right)\right)>0$$

Pour que le produit soit positif, x-\left(2\sqrt{5}+2\right) et x-\left(2-2\sqrt{5}\right) doivent être à la fois négatives ou les deux positives. Considérer le cas lorsque x-\left(2\sqrt{5}+2\right) et x-\left(2-2\sqrt{5}\right) sont tous les deux négatifs.

$$x-\left(2\sqrt{5}+2\right)<0 x-\left(2-2\sqrt{5}\right)<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x<2-2\sqrt{5}.

$$x<2-2\sqrt{5}$$

Considérer le cas lorsque x-\left(2\sqrt{5}+2\right) et x-\left(2-2\sqrt{5}\right) sont tous les deux positifs.

$$x-\left(2-2\sqrt{5}\right)>0 x-\left(2\sqrt{5}+2\right)>0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x>2\sqrt{5}+2.

$$x>2\sqrt{5}+2$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x<2-2\sqrt{5}\text{; }x>2\sqrt{5}+2$$