Résoudre x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Calculer x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -3 pour b et 1 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Résoudre l’équation x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Pour que le produit soit négatif, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} et x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} doivent être des signes opposés. Considérer le cas lorsque x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} est positif et x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} négatif.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Considérer le cas lorsque x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} est positif et x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} négatif.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$