Résoudre x^2-22x-23=0

$${ x }^{ 2 } -22x-23=0$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x=23$$

Étapes d’utilisation de la factorisation

Pour résoudre l’équation, facteur x^{2}-22x-23 à l’aide de la x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-22 ab=-23$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-23 b=1$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(x+a\right)\left(x+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(x-23\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-23=0 et x+1=0.

$$x=23 x=-1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx-23. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-22 ab=1\left(-23\right)=-23$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-23 b=1$$

Réécrire x^{2}-22x-23 en tant qu’\left(x^{2}-23x\right)+\left(x-23\right).

$$\left(x^{2}-23x\right)+\left(x-23\right)$$

Factoriser x dans x^{2}-23x.

$$x\left(x-23\right)+x-23$$

Factoriser le facteur commun x-23 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-23\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-23=0 et x+1=0.

$$x=23 x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x^{2}-22x-23=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -22 à b et -23 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-23\right)}}{2}$$

Calculer le carré de -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-23\right)}}{2}$$

Multiplier -4 par -23.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+92}}{2}$$

Additionner 484 et 92.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{576}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 576.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±24}{2}$$

L’inverse de -22 est 22.

$$x=\frac{22±24}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{22±24}{2} lorsque ± est positif. Additionner 22 et 24.

$$x=\frac{46}{2}$$

Diviser 46 par 2.

$$x=23$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{22±24}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 24 à 22.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Diviser -2 par 2.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=23 x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-22x-23=0$$

Ajouter 23 aux deux côtés de l’équation.

$$x^{2}-22x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

La soustraction de -23 de lui-même donne 0.

$$x^{2}-22x=-\left(-23\right)$$

Soustraire -23 à 0.

$$x^{2}-22x=23$$

Divisez -22, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -11. Ajouter ensuite le carré de -11 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-22x+\left(-11\right)^{2}=23+\left(-11\right)^{2}$$

Calculer le carré de -11.

$$x^{2}-22x+121=23+121$$

Additionner 23 et 121.

$$x^{2}-22x+121=144$$

Factor x^{2}-22x+121. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-11\right)^{2}=144$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-11\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Simplifier.

$$x-11=12 x-11=-12$$

Ajouter 11 aux deux côtés de l’équation.

$$x=23 x=-1$$