Résoudre x^2+x+1=0

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x^{2}+x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, 1 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

Additionner 1 et -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Extraire la racine carrée de -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} lorsque ± est positif. Additionner -1 et i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{3} à -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$x^{2}+x=-1$$

DiVisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Additionner -1 et \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Factoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$