Résoudre x^2+5x+7=0

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2,5-0,866025404i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, 5 à b et 7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

Calculer le carré de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

Multiplier -4 par 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

Additionner 25 et -28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

Extraire la racine carrée de -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} lorsque ± est positif. Additionner -5 et i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{3} à -5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Soustraire 7 des deux côtés de l’équation.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

La soustraction de 7 de lui-même donne 0.

$$x^{2}+5x=-7$$

Divisez 5, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Additionner -7 et \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Soustraire \frac{5}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$