Résoudre x^2+2{left(sqrt{2}div2x-2sqrt{2}right)}^2=8

$${ x }^{ 2 } +2 { \left( \sqrt{ 2 } \div 2x-2 \sqrt{ 2 } \right) }^{ 2 } =8$$

Calculer x

$$x=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Exprimer \frac{\sqrt{2}}{2}x sous la forme d’une fraction seule.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Pour élever \frac{\sqrt{2}x}{2} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Annulez le facteur commun le plus grand 2 dans 4 et 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Multiplier 4 et 2 pour obtenir 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Étendre \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Diviser 2x^{2} par 4 pour obtenir \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Multiplier 2 et \frac{1}{2} pour obtenir 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Multiplier -4 et 2 pour obtenir -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combiner x^{2} et x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Soustraire 8 des deux côtés.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Soustraire 8 de 16 pour obtenir 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx+4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-4 ab=1\times 4=4$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La solution est la paire qui donne la somme -4.

$$a=-2 b=-2$$

Réécrire x^{2}-4x+4 en tant qu’\left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Factorisez x du premier et -2 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-2\right)\left(x-2\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(x-2\right)^{2}$$

Pour rechercher la solution de l’équation, résolvez x-2=0.

$$x=2$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Exprimer \frac{\sqrt{2}}{2}x sous la forme d’une fraction seule.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Pour élever \frac{\sqrt{2}x}{2} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Annulez le facteur commun le plus grand 2 dans 4 et 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Multiplier 4 et 2 pour obtenir 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Étendre \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Diviser 2x^{2} par 4 pour obtenir \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Multiplier 2 et \frac{1}{2} pour obtenir 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Multiplier -4 et 2 pour obtenir -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combiner x^{2} et x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Soustraire 8 des deux côtés.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Soustraire 8 de 16 pour obtenir 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -8 à b et 8 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\times 8}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64}}{2\times 2}$$

Additionner 64 et -64.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=-\frac{-8}{2\times 2}$$

L’inverse de -8 est 8.

$$x=\frac{8}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{8}{4}$$

Diviser 8 par 4.

$$x=2$$

Étapes de l’élévation au carré

Exprimer \frac{\sqrt{2}}{2}x sous la forme d’une fraction seule.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Pour élever \frac{\sqrt{2}x}{2} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Annulez le facteur commun le plus grand 2 dans 4 et 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Multiplier 4 et 2 pour obtenir 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Étendre \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Diviser 2x^{2} par 4 pour obtenir \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Multiplier 2 et \frac{1}{2} pour obtenir 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Multiplier -4 et 2 pour obtenir -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combiner x^{2} et x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Soustraire 16 des deux côtés.

$$2x^{2}-8x=8-16$$

Soustraire 16 de 8 pour obtenir -8.

$$2x^{2}-8x=-8$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=-\frac{8}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=-\frac{8}{2}$$

Diviser -8 par 2.

$$x^{2}-4x=-\frac{8}{2}$$

Diviser -8 par 2.

$$x^{2}-4x=-4$$

Divisez -4, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -2. Ajouter ensuite le carré de -2 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-4+\left(-2\right)^{2}$$

Calculer le carré de -2.

$$x^{2}-4x+4=-4+4$$

Additionner -4 et 4.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Factor x^{2}-4x+4. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifier.

$$x-2=0 x-2=0$$

Ajouter 2 aux deux côtés de l’équation.

$$x=2 x=2$$

L’équation est désormais résolue. Les solutions sont identiques.

$$x=2$$