Résoudre left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Calculer x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+22x+121, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combiner x^{2} et -x^{2} pour obtenir 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combiner 28x et -22x pour obtenir 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Soustraire 121 de 196 pour obtenir 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Ajouter 12x aux deux côtés.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Combiner 6x et 12x pour obtenir 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Soustraire 36 des deux côtés.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Soustraire 36 de 75 pour obtenir 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 18 à b et 39 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 324 et 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -18 et 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Diviser -18+4\sqrt{30} par -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 4\sqrt{30} à -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Diviser -18-4\sqrt{30} par -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+22x+121, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combiner x^{2} et -x^{2} pour obtenir 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combiner 28x et -22x pour obtenir 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Soustraire 121 de 196 pour obtenir 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Ajouter 12x aux deux côtés.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Combiner 6x et 12x pour obtenir 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Soustraire 75 des deux côtés.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Soustraire 75 de 36 pour obtenir -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Diviser 18 par -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Diviser -39 par -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Divisez -18, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -9. Ajouter ensuite le carré de -9 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Calculer le carré de -9.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Additionner 39 et 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Factor x^{2}-18x+81. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Simplifier.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Ajouter 9 aux deux côtés de l’équation.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$