Résoudre left(2x-5right)^2+x^2+6(2x-5)-12x+20=0

$${ \left(2x-5 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } +6(2x-5)-12x+20=0$$

Calculer x

$$x=1$$

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Combiner 4x^{2} et x^{2} pour obtenir 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 6 par 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Combiner -20x et 12x pour obtenir -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Soustraire 30 de 25 pour obtenir -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Combiner -8x et -12x pour obtenir -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Additionner -5 et 20 pour obtenir 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx+3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-3 b=-1$$

Réécrire x^{2}-4x+3 en tant qu’\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Factorisez x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-3=0 et x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Combiner 4x^{2} et x^{2} pour obtenir 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 6 par 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Combiner -20x et 12x pour obtenir -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Soustraire 30 de 25 pour obtenir -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Combiner -8x et -12x pour obtenir -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Additionner -5 et 20 pour obtenir 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -20 à b et 15 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Additionner 400 et -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

L’inverse de -20 est 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{20±10}{10} lorsque ± est positif. Additionner 20 et 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Diviser 30 par 10.

$$x=3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{20±10}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 10 à 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Diviser 10 par 10.

$$x=1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=3 x=1$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Combiner 4x^{2} et x^{2} pour obtenir 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 6 par 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Combiner -20x et 12x pour obtenir -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Soustraire 30 de 25 pour obtenir -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Combiner -8x et -12x pour obtenir -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Additionner -5 et 20 pour obtenir 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Soustraire 15 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Diviser -20 par 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Diviser -15 par 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Divisez -4, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -2. Ajouter ensuite le carré de -2 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Calculer le carré de -2.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Additionner -3 et 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Factor x^{2}-4x+4. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifier.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Ajouter 2 aux deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=1$$