Résoudre {left(sqrt{2}+sqrt{5}right)}^2-{left(2+sqrt{10}right)}^2+sqrt{90}+left(2sqrt{2}-1right)left(2sqrt{2}+1right)

$${ \left( \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 } - { \left(2+ \sqrt{ 10 } \right) }^{ 2 } + \sqrt{ 90 } + \left( 2 \sqrt{ 2 } -1 \right) \left( 2 \sqrt{ 2 } +1 \right)$$

Évaluer

$$\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Pour multiplier \sqrt{2} et \sqrt{5}, multipliez les nombres sous la racine carrée.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Additionner 2 et 5 pour obtenir 7.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2+\sqrt{10}\right)^{2}.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Le carré de \sqrt{10} est 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Additionner 4 et 10 pour obtenir 14.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Pour trouver l’opposé de 14+4\sqrt{10}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Soustraire 14 de 7 pour obtenir -7.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Combiner 2\sqrt{10} et -4\sqrt{10} pour obtenir -2\sqrt{10}.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Factoriser 90=3^{2}\times 10. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{3^{2}\times 10} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}. Extraire la racine carrée de 3^{2}.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Combiner -2\sqrt{10} et 3\sqrt{10} pour obtenir \sqrt{10}.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Considérer \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 1.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Étendre \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

Multiplier 4 et 2 pour obtenir 8.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

Soustraire 1 de 8 pour obtenir 7.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

Additionner -7 et 7 pour obtenir 0.

$$\sqrt{10}$$