Résoudre {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Évaluer

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Considérer \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \sqrt{3}. Calculer le carré de 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Soustraire 1 de 3 pour obtenir 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multiplier \sqrt{3}+1 et \sqrt{3}+1 pour obtenir \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Divisez chaque terme de 4+2\sqrt{3} par 2 pour obtenir 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Additionner 4 et 3 pour obtenir 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Développer

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Considérer \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \sqrt{3}. Calculer le carré de 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Soustraire 1 de 3 pour obtenir 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multiplier \sqrt{3}+1 et \sqrt{3}+1 pour obtenir \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Divisez chaque terme de 4+2\sqrt{3} par 2 pour obtenir 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Additionner 4 et 3 pour obtenir 7.

$$7+4\sqrt{3}$$