Résoudre sqrt{x-3}=x+3

$$\sqrt{ x-3 } = x+3$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{2}\approx -2,5+2,397915762i$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(x+3\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-3} à la puissance 2 et obtenir x-3.

$$x-3=\left(x+3\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+3\right)^{2}.

$$x-3=x^{2}+6x+9$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x-3-x^{2}=6x+9$$

Soustraire 6x des deux côtés.

$$x-3-x^{2}-6x=9$$

Combiner x et -6x pour obtenir -5x.

$$-5x-3-x^{2}=9$$

Soustraire 9 des deux côtés.

$$-5x-3-x^{2}-9=0$$

Soustraire 9 de -3 pour obtenir -12.

$$-5x-12-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}-5x-12=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, -5 à b et -12 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-12\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-12\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\left(-12\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par -12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 25 et -48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-23}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de -23.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{23}i}{-2} lorsque ± est positif. Additionner 5 et i\sqrt{23}.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{-2}$$

Diviser 5+i\sqrt{23} par -2.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{23}i}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{23} à 5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{-2}$$

Diviser 5-i\sqrt{23} par -2.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{2} x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{2}$$

Remplacez x par \frac{-\sqrt{23}i-5}{2} dans l’équation \sqrt{x-3}=x+3.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{23}i-5}{2}-3}=\frac{-\sqrt{23}i-5}{2}+3$$

Simplifier. La valeur x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{2} ne satisfait pas l’équation.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 23^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 23^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Remplacez x par \frac{-5+\sqrt{23}i}{2} dans l’équation \sqrt{x-3}=x+3.

$$\sqrt{\frac{-5+\sqrt{23}i}{2}-3}=\frac{-5+\sqrt{23}i}{2}+3$$

Simplifier. La valeur x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{2} satisfait à l’équation.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 23^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 23^{\frac{1}{2}}$$

L’équation \sqrt{x-3}=x+3 a une solution unique.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{2}$$