Résoudre sqrt{x+5}=x

$$\sqrt{ x+5 } =x$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 1}{2} \approx 2,791287847$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=x^{2}$$

Calculer \sqrt{x+5} à la puissance 2 et obtenir x+5.

$$x+5=x^{2}$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x+5-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+x+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 1 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+20}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 1 et 20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -1 et \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-1}{-2}$$

Diviser -1+\sqrt{21} par -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{21} à -1.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-1}{-2}$$

Diviser -1-\sqrt{21} par -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Remplacez x par \frac{1-\sqrt{21}}{2} dans l’équation \sqrt{x+5}=x.

$$\sqrt{\frac{1-\sqrt{21}}{2}+5}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par \frac{\sqrt{21}+1}{2} dans l’équation \sqrt{x+5}=x.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{21}+1}{2}+5}=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{\sqrt{21}+1}{2} satisfait à l’équation.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

L’équation \sqrt{x+5}=x a une solution unique.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$