Résoudre sqrt{x+5}=x+4

$$\sqrt{ x+5 } = x+4$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}\approx -2,381966011$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(x+4\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+5} à la puissance 2 et obtenir x+5.

$$x+5=\left(x+4\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+4\right)^{2}.

$$x+5=x^{2}+8x+16$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x+5-x^{2}=8x+16$$

Soustraire 8x des deux côtés.

$$x+5-x^{2}-8x=16$$

Combiner x et -8x pour obtenir -7x.

$$-7x+5-x^{2}=16$$

Soustraire 16 des deux côtés.

$$-7x+5-x^{2}-16=0$$

Soustraire 16 de 5 pour obtenir -11.

$$-7x-11-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}-7x-11=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, -7 à b et -11 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-44}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 49 et -44.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2} lorsque ± est positif. Additionner 7 et \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+7}{-2}$$

Diviser 7+\sqrt{5} par -2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{5} à 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{5}}{-2}$$

Diviser 7-\sqrt{5} par -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2} x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$

Remplacez x par \frac{-\sqrt{5}-7}{2} dans l’équation \sqrt{x+5}=x+4.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-7}{2}+5}=\frac{-\sqrt{5}-7}{2}+4$$

Simplifier. La valeur x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Remplacez x par \frac{\sqrt{5}-7}{2} dans l’équation \sqrt{x+5}=x+4.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-7}{2}+5}=\frac{\sqrt{5}-7}{2}+4$$

Simplifier. La valeur x=\frac{\sqrt{5}-7}{2} satisfait à l’équation.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

L’équation \sqrt{x+5}=x+4 a une solution unique.

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$