Résoudre sqrt{x+3}=3x-5

$$\sqrt{ x+3 } =3x-5$$

Calculer x

$$x = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2,444444444$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=\left(3x-5\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+3} à la puissance 2 et obtenir x+3.

$$x+3=\left(3x-5\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3x-5\right)^{2}.

$$x+3=9x^{2}-30x+25$$

Soustraire 9x^{2} des deux côtés.

$$x+3-9x^{2}=-30x+25$$

Ajouter 30x aux deux côtés.

$$x+3-9x^{2}+30x=25$$

Combiner x et 30x pour obtenir 31x.

$$31x+3-9x^{2}=25$$

Soustraire 25 des deux côtés.

$$31x+3-9x^{2}-25=0$$

Soustraire 25 de 3 pour obtenir -22.

$$31x-22-9x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-9x^{2}+31x-22=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -9x^{2}+ax+bx-22. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=31 ab=-9\left(-22\right)=198$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 198.

$$1,198 2,99 3,66 6,33 9,22 11,18$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+198=199 2+99=101 3+66=69 6+33=39 9+22=31 11+18=29$$

La solution est la paire qui donne la somme 31.

$$a=22 b=9$$

Réécrire -9x^{2}+31x-22 en tant qu’\left(-9x^{2}+22x\right)+\left(9x-22\right).

$$\left(-9x^{2}+22x\right)+\left(9x-22\right)$$

Factoriser -x dans -9x^{2}+22x.

$$-x\left(9x-22\right)+9x-22$$

Factoriser le facteur commun 9x-22 en utilisant la distributivité.

$$\left(9x-22\right)\left(-x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 9x-22=0 et -x+1=0.

$$x=\frac{22}{9} x=1$$

Remplacez x par \frac{22}{9} dans l’équation \sqrt{x+3}=3x-5.

$$\sqrt{\frac{22}{9}+3}=3\times \frac{22}{9}-5$$

Simplifier. La valeur x=\frac{22}{9} satisfait à l’équation.

$$\frac{7}{3}=\frac{7}{3}$$

Remplacez x par 1 dans l’équation \sqrt{x+3}=3x-5.

$$\sqrt{1+3}=3\times 1-5$$

Simplifier. La valeur x=1 ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$2=-2$$

L’équation \sqrt{x+3}=3x-5 a une solution unique.

$$x=\frac{22}{9}$$