Résoudre sqrt{x+1}=x-5

$$\sqrt{ x+1 } = x-5$$

Calculer x

$$x=8$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(x-5\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+1} à la puissance 2 et obtenir x+1.

$$x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-5\right)^{2}.

$$x+1=x^{2}-10x+25$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x+1-x^{2}=-10x+25$$

Ajouter 10x aux deux côtés.

$$x+1-x^{2}+10x=25$$

Combiner x et 10x pour obtenir 11x.

$$11x+1-x^{2}=25$$

Soustraire 25 des deux côtés.

$$11x+1-x^{2}-25=0$$

Soustraire 25 de 1 pour obtenir -24.

$$11x-24-x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-x^{2}+11x-24=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -x^{2}+ax+bx-24. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=11 ab=-\left(-24\right)=24$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

La solution est la paire qui donne la somme 11.

$$a=8 b=3$$

Réécrire -x^{2}+11x-24 en tant qu’\left(-x^{2}+8x\right)+\left(3x-24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(3x-24\right)$$

Factorisez -x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(x-8\right)+3\left(x-8\right)$$

Factoriser le facteur commun x-8 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-8\right)\left(-x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-8=0 et -x+3=0.

$$x=8 x=3$$

Remplacez x par 8 dans l’équation \sqrt{x+1}=x-5.

$$\sqrt{8+1}=8-5$$

Simplifier. La valeur x=8 satisfait à l’équation.

$$3=3$$

Remplacez x par 3 dans l’équation \sqrt{x+1}=x-5.

$$\sqrt{3+1}=3-5$$

Simplifier. La valeur x=3 ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$2=-2$$

L’équation \sqrt{x+1}=x-5 a une solution unique.

$$x=8$$