Résoudre sqrt{6+sqrt{x+4}}=sqrt{2x-1}

$$\sqrt{ 6+ \sqrt{ x+4 } } = \sqrt{ 2x-1 }$$

Calculer x

$$x=5$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{6+\sqrt{x+4}}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{6+\sqrt{x+4}} à la puissance 2 et obtenir 6+\sqrt{x+4}.

$$6+\sqrt{x+4}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-1} à la puissance 2 et obtenir 2x-1.

$$6+\sqrt{x+4}=2x-1$$

Soustraire 6 des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{x+4}=2x-1-6$$

Soustraire 6 de -1 pour obtenir -7.

$$\sqrt{x+4}=2x-7$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+4} à la puissance 2 et obtenir x+4.

$$x+4=\left(2x-7\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-7\right)^{2}.

$$x+4=4x^{2}-28x+49$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$x+4-4x^{2}=-28x+49$$

Ajouter 28x aux deux côtés.

$$x+4-4x^{2}+28x=49$$

Combiner x et 28x pour obtenir 29x.

$$29x+4-4x^{2}=49$$

Soustraire 49 des deux côtés.

$$29x+4-4x^{2}-49=0$$

Soustraire 49 de 4 pour obtenir -45.

$$29x-45-4x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-4x^{2}+29x-45=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -4x^{2}+ax+bx-45. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=29 ab=-4\left(-45\right)=180$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 180.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

La solution est la paire qui donne la somme 29.

$$a=20 b=9$$

Réécrire -4x^{2}+29x-45 en tant qu’\left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right)$$

Factorisez 4x du premier et -9 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(-x+5\right)-9\left(-x+5\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+5 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+5\right)\left(4x-9\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+5=0 et 4x-9=0.

$$x=5 x=\frac{9}{4}$$

Remplacez x par 5 dans l’équation \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Simplifier. La valeur x=5 satisfait à l’équation.

$$3=3$$

Remplacez x par \frac{9}{4} dans l’équation \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{\frac{9}{4}+4}}=\sqrt{2\times \frac{9}{4}-1}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{9}{4} ne satisfait pas l’équation.

$$\frac{1}{2}\times 34^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 14^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par 5 dans l’équation \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Simplifier. La valeur x=5 satisfait à l’équation.

$$3=3$$

L’équation \sqrt{\sqrt{x+4}+6}=\sqrt{2x-1} a une solution unique.

$$x=5$$