Résoudre sqrt{4y+1}-sqrt{y-2}=3

$$\sqrt{ 4y+1 } - \sqrt{ y-2 } =3$$

Calculer y

$$y=6$$

$$y=2$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{y-2} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{4y+1}=3+\sqrt{y-2}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{4y+1}\right)^{2}=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{4y+1} à la puissance 2 et obtenir 4y+1.

$$4y+1=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{y-2} à la puissance 2 et obtenir y-2.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+y-2$$

Soustraire 2 de 9 pour obtenir 7.

$$4y+1=7+6\sqrt{y-2}+y$$

Soustraire 7+y des deux côtés de l’équation.

$$4y+1-\left(7+y\right)=6\sqrt{y-2}$$

Pour trouver l’opposé de 7+y, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4y+1-7-y=6\sqrt{y-2}$$

Soustraire 7 de 1 pour obtenir -6.

$$4y-6-y=6\sqrt{y-2}$$

Combiner 4y et -y pour obtenir 3y.

$$3y-6=6\sqrt{y-2}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(3y-6\right)^{2}=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3y-6\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Étendre \left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=6^{2}\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculer 6 à la puissance 2 et obtenir 36.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{y-2} à la puissance 2 et obtenir y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(y-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 36 par y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36y-72$$

Soustraire 36y des deux côtés.

$$9y^{2}-36y+36-36y=-72$$

Combiner -36y et -36y pour obtenir -72y.

$$9y^{2}-72y+36=-72$$

Ajouter 72 aux deux côtés.

$$9y^{2}-72y+36+72=0$$

Additionner 36 et 72 pour obtenir 108.

$$9y^{2}-72y+108=0$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que y^{2}+ay+by+12. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La solution est la paire qui donne la somme -8.

$$a=-6 b=-2$$

Réécrire y^{2}-8y+12 en tant qu’\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Factorisez y du premier et -2 dans le deuxième groupe.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Factoriser le facteur commun y-6 en utilisant la distributivité.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez y-6=0 et y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Remplacez y par 6 dans l’équation \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 6+1}-\sqrt{6-2}=3$$

Simplifier. La valeur y=6 satisfait à l’équation.

$$3=3$$

Remplacez y par 2 dans l’équation \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 2+1}-\sqrt{2-2}=3$$

Simplifier. La valeur y=2 satisfait à l’équation.

$$3=3$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{4y+1}=\sqrt{y-2}+3.

$$y=6 y=2$$