Résoudre sqrt{4x+2}=sqrt{2sqrt{-5x+29}}

$$\sqrt{ 4x+2 } = \sqrt{ 2 \sqrt{ -5x+29 } }$$

Calculer x

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1,75$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{4x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{2\sqrt{-5x+29}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{4x+2} à la puissance 2 et obtenir 4x+2.

$$4x+2=\left(\sqrt{2\sqrt{-5x+29}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2\sqrt{-5x+29}} à la puissance 2 et obtenir 2\sqrt{-5x+29}.

$$4x+2=2\sqrt{-5x+29}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(4x+2\right)^{2}=\left(2\sqrt{-5x+29}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(4x+2\right)^{2}.

$$16x^{2}+16x+4=\left(2\sqrt{-5x+29}\right)^{2}$$

Étendre \left(2\sqrt{-5x+29}\right)^{2}.

$$16x^{2}+16x+4=2^{2}\left(\sqrt{-5x+29}\right)^{2}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$16x^{2}+16x+4=4\left(\sqrt{-5x+29}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{-5x+29} à la puissance 2 et obtenir -5x+29.

$$16x^{2}+16x+4=4\left(-5x+29\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par -5x+29.

$$16x^{2}+16x+4=-20x+116$$

Ajouter 20x aux deux côtés.

$$16x^{2}+16x+4+20x=116$$

Combiner 16x et 20x pour obtenir 36x.

$$16x^{2}+36x+4=116$$

Soustraire 116 des deux côtés.

$$16x^{2}+36x+4-116=0$$

Soustraire 116 de 4 pour obtenir -112.

$$16x^{2}+36x-112=0$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$4x^{2}+9x-28=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx-28. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=9 ab=4\left(-28\right)=-112$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -112.

$$-1,112 -2,56 -4,28 -7,16 -8,14$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+112=111 -2+56=54 -4+28=24 -7+16=9 -8+14=6$$

La solution est la paire qui donne la somme 9.

$$a=-7 b=16$$

Réécrire 4x^{2}+9x-28 en tant qu’\left(4x^{2}-7x\right)+\left(16x-28\right).

$$\left(4x^{2}-7x\right)+\left(16x-28\right)$$

Factorisez x du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$x\left(4x-7\right)+4\left(4x-7\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-7\right)\left(x+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4x-7=0 et x+4=0.

$$x=\frac{7}{4} x=-4$$

Remplacez x par -4 dans l’équation \sqrt{4x+2}=\sqrt{2\sqrt{-5x+29}}. L’expression \sqrt{4\left(-4\right)+2} n’est pas définie, car le radicand ne peut pas être négatif.

$$\sqrt{4\left(-4\right)+2}=\sqrt{2\sqrt{-5\left(-4\right)+29}}$$

Remplacez x par \frac{7}{4} dans l’équation \sqrt{4x+2}=\sqrt{2\sqrt{-5x+29}}.

$$\sqrt{4\times \frac{7}{4}+2}=\sqrt{2\sqrt{-5\times \frac{7}{4}+29}}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{7}{4} satisfait à l’équation.

$$3=3$$

L’équation \sqrt{4x+2}=\sqrt{2\sqrt{29-5x}} a une solution unique.

$$x=\frac{7}{4}$$