Résoudre sqrt{3x+12}-1=sqrt{5x+9}

$$\sqrt{ 3x+12 } -1= \sqrt{ 5x+9 }$$

Calculer x

$$x=-1$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{3x+12}-1\right)^{2}=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{3x+12}-1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}-2\sqrt{3x+12}+1=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{3x+12} à la puissance 2 et obtenir 3x+12.

$$3x+12-2\sqrt{3x+12}+1=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Additionner 12 et 1 pour obtenir 13.

$$3x+13-2\sqrt{3x+12}=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{5x+9} à la puissance 2 et obtenir 5x+9.

$$3x+13-2\sqrt{3x+12}=5x+9$$

Soustraire 3x+13 des deux côtés de l’équation.

$$-2\sqrt{3x+12}=5x+9-\left(3x+13\right)$$

Pour trouver l’opposé de 3x+13, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$-2\sqrt{3x+12}=5x+9-3x-13$$

Combiner 5x et -3x pour obtenir 2x.

$$-2\sqrt{3x+12}=2x+9-13$$

Soustraire 13 de 9 pour obtenir -4.

$$-2\sqrt{3x+12}=2x-4$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-2\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Étendre \left(-2\sqrt{3x+12}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Calculer -2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{3x+12} à la puissance 2 et obtenir 3x+12.

$$4\left(3x+12\right)=\left(2x-4\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par 3x+12.

$$12x+48=\left(2x-4\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-4\right)^{2}.

$$12x+48=4x^{2}-16x+16$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$12x+48-4x^{2}=-16x+16$$

Ajouter 16x aux deux côtés.

$$12x+48-4x^{2}+16x=16$$

Combiner 12x et 16x pour obtenir 28x.

$$28x+48-4x^{2}=16$$

Soustraire 16 des deux côtés.

$$28x+48-4x^{2}-16=0$$

Soustraire 16 de 48 pour obtenir 32.

$$28x+32-4x^{2}=0$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$7x+8-x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-x^{2}+7x+8=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -x^{2}+ax+bx+8. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=-8=-8$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=8 b=-1$$

Réécrire -x^{2}+7x+8 en tant qu’\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-x+8\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-x+8\right)$$

Factorisez -x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(x-8\right)-\left(x-8\right)$$

Factoriser le facteur commun x-8 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-8\right)\left(-x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-8=0 et -x-1=0.

$$x=8 x=-1$$

Remplacez x par 8 dans l’équation \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9}.

$$\sqrt{3\times 8+12}-1=\sqrt{5\times 8+9}$$

Simplifier. La valeur x=8 ne satisfait pas l’équation.

$$5=7$$

Remplacez x par -1 dans l’équation \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9}.

$$\sqrt{3\left(-1\right)+12}-1=\sqrt{5\left(-1\right)+9}$$

Simplifier. La valeur x=-1 satisfait à l’équation.

$$2=2$$

L’équation \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9} a une solution unique.

$$x=-1$$