Résoudre sqrt{2x-3}=x+2

$$\sqrt{ 2x-3 } =x+2$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=-1+\sqrt{6}i\approx -1+2,449489743i$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(x+2\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-3} à la puissance 2 et obtenir 2x-3.

$$2x-3=\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+2\right)^{2}.

$$2x-3=x^{2}+4x+4$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$2x-3-x^{2}=4x+4$$

Soustraire 4x des deux côtés.

$$2x-3-x^{2}-4x=4$$

Combiner 2x et -4x pour obtenir -2x.

$$-2x-3-x^{2}=4$$

Soustraire 4 des deux côtés.

$$-2x-3-x^{2}-4=0$$

Soustraire 4 de -3 pour obtenir -7.

$$-2x-7-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}-2x-7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, -2 à b et -7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par -7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-28}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 4 et -28.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-24}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de -24.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{6}i}{2\left(-1\right)}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}i}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{6}i}{-2} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 2i\sqrt{6}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{6}i}{-2}$$

Diviser 2+2i\sqrt{6} par -2.

$$x=-\sqrt{6}i-1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{6}i}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{6} à 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{6}i+2}{-2}$$

Diviser 2-2i\sqrt{6} par -2.

$$x=-1+\sqrt{6}i$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\sqrt{6}i-1 x=-1+\sqrt{6}i$$

Remplacez x par -\sqrt{6}i-1 dans l’équation \sqrt{2x-3}=x+2.

$$\sqrt{2\left(-\sqrt{6}i-1\right)-3}=-\sqrt{6}i-1+2$$

Simplifier. La valeur x=-\sqrt{6}i-1 ne satisfait pas l’équation.

$$-\left(1-i\times 6^{\frac{1}{2}}\right)=-i\times 6^{\frac{1}{2}}+1$$

Remplacez x par -1+\sqrt{6}i dans l’équation \sqrt{2x-3}=x+2.

$$\sqrt{2\left(-1+\sqrt{6}i\right)-3}=-1+\sqrt{6}i+2$$

Simplifier. La valeur x=-1+\sqrt{6}i satisfait à l’équation.

$$1+i\times 6^{\frac{1}{2}}=1+i\times 6^{\frac{1}{2}}$$

L’équation \sqrt{2x-3}=x+2 a une solution unique.

$$x=-1+\sqrt{6}i$$