Résoudre sqrt{2x-3}+sqrt{4x+1}=4

$$\sqrt{ 2x-3 } + \sqrt{ 4x+1 } =4$$

Calculer x

$$x=2$$

Étapes de la solution

Soustraire \sqrt{4x+1} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{4x+1}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-3} à la puissance 2 et obtenir 2x-3.

$$2x-3=\left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}.

$$2x-3=16-8\sqrt{4x+1}+\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{4x+1} à la puissance 2 et obtenir 4x+1.

$$2x-3=16-8\sqrt{4x+1}+4x+1$$

Additionner 16 et 1 pour obtenir 17.

$$2x-3=17-8\sqrt{4x+1}+4x$$

Soustraire 17+4x des deux côtés de l’équation.

$$2x-3-\left(17+4x\right)=-8\sqrt{4x+1}$$

Pour trouver l’opposé de 17+4x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2x-3-17-4x=-8\sqrt{4x+1}$$

Soustraire 17 de -3 pour obtenir -20.

$$2x-20-4x=-8\sqrt{4x+1}$$

Combiner 2x et -4x pour obtenir -2x.

$$-2x-20=-8\sqrt{4x+1}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-2x-20\right)^{2}=\left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(-2x-20\right)^{2}.

$$4x^{2}+80x+400=\left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Étendre \left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}.

$$4x^{2}+80x+400=\left(-8\right)^{2}\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Calculer -8 à la puissance 2 et obtenir 64.

$$4x^{2}+80x+400=64\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{4x+1} à la puissance 2 et obtenir 4x+1.

$$4x^{2}+80x+400=64\left(4x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 64 par 4x+1.

$$4x^{2}+80x+400=256x+64$$

Soustraire 256x des deux côtés.

$$4x^{2}+80x+400-256x=64$$

Combiner 80x et -256x pour obtenir -176x.

$$4x^{2}-176x+400=64$$

Soustraire 64 des deux côtés.

$$4x^{2}-176x+400-64=0$$

Soustraire 64 de 400 pour obtenir 336.

$$4x^{2}-176x+336=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -176 à b et 336 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{\left(-176\right)^{2}-4\times 4\times 336}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -176.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-4\times 4\times 336}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-16\times 336}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 336.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-5376}}{2\times 4}$$

Additionner 30976 et -5376.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{25600}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 25600.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±160}{2\times 4}$$

L’inverse de -176 est 176.

$$x=\frac{176±160}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{176±160}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{176±160}{8} lorsque ± est positif. Additionner 176 et 160.

$$x=\frac{336}{8}$$

Diviser 336 par 8.

$$x=42$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{176±160}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 160 à 176.

$$x=\frac{16}{8}$$

Diviser 16 par 8.

$$x=2$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=42 x=2$$

Remplacez x par 42 dans l’équation \sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.

$$\sqrt{2\times 42-3}+\sqrt{4\times 42+1}=4$$

Simplifier. La valeur x=42 ne satisfait pas l’équation.

$$22=4$$

Remplacez x par 2 dans l’équation \sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.

$$\sqrt{2\times 2-3}+\sqrt{4\times 2+1}=4$$

Simplifier. La valeur x=2 satisfait à l’équation.

$$4=4$$

L’équation \sqrt{2x-3}=-\sqrt{4x+1}+4 a une solution unique.

$$x=2$$