Résoudre sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Calculer x

$$x=14$$

$$x=6$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-3} à la puissance 2 et obtenir 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-5} à la puissance 2 et obtenir x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Soustraire 5 de 4 pour obtenir -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Soustraire -1+x des deux côtés de l’équation.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Pour trouver l’opposé de -1+x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Additionner -3 et 1 pour obtenir -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Combiner 2x et -x pour obtenir x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Étendre \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculer 4 à la puissance 2 et obtenir 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-5} à la puissance 2 et obtenir x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 16 par x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Soustraire 16x des deux côtés.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Combiner -4x et -16x pour obtenir -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Ajouter 80 aux deux côtés.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Additionner 4 et 80 pour obtenir 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Pour résoudre l’équation, facteur x^{2}-20x+84 à l’aide de la x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-20 ab=84$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

La solution est la paire qui donne la somme -20.

$$a=-14 b=-6$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(x+a\right)\left(x+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-14=0 et x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Remplacez x par 14 dans l’équation \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Simplifier. La valeur x=14 satisfait à l’équation.

$$5=5$$

Remplacez x par 6 dans l’équation \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Simplifier. La valeur x=6 satisfait à l’équation.

$$3=3$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$