Résoudre sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Calculer x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Étapes de la solution

Soustraire \sqrt{1+x} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{1-x} à la puissance 2 et obtenir 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{1+x} à la puissance 2 et obtenir 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Additionner 2 et 1 pour obtenir 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Soustraire 3+x des deux côtés de l’équation.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Pour trouver l’opposé de 3+x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Soustraire 3 de 1 pour obtenir -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Combiner -x et -x pour obtenir -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(-2-2x\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Étendre \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calculer -2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Multiplier 4 et 2 pour obtenir 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{1+x} à la puissance 2 et obtenir 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 8 par 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Soustraire 8 des deux côtés.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Soustraire 8 de 4 pour obtenir -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Soustraire 8x des deux côtés.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Combiner 8x et -8x pour obtenir 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Considérer -1+x^{2}. Réécrire -1+x^{2} en tant qu’x^{2}-1^{2}. La différence de carrés peut être factorisée à l’aide de la règle : a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Remplacez x par 1 dans l’équation \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Simplifier. La valeur x=1 satisfait à l’équation.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par -1 dans l’équation \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Simplifier. La valeur x=-1 satisfait à l’équation.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$