Résoudre sqrt{(2x-5)}-sqrt{(x-1)}=1

$$\sqrt{ (2x-5) } - \sqrt{ (x-1) } =1$$

Calculer x

$$x=2\sqrt{5}+7\approx 11,472135955$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{x-1} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{2x-5}=1+\sqrt{x-1}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{2x-5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-5} à la puissance 2 et obtenir 2x-5.

$$2x-5=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-1} à la puissance 2 et obtenir x-1.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+x-1$$

Soustraire 1 de 1 pour obtenir 0.

$$2x-5=2\sqrt{x-1}+x$$

Soustraire x des deux côtés de l’équation.

$$2x-5-x=2\sqrt{x-1}$$

Combiner 2x et -x pour obtenir x.

$$x-5=2\sqrt{x-1}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(x-5\right)^{2}=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-5\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Étendre \left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=2^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$x^{2}-10x+25=4\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-1} à la puissance 2 et obtenir x-1.

$$x^{2}-10x+25=4\left(x-1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x-1.

$$x^{2}-10x+25=4x-4$$

Soustraire 4x des deux côtés.

$$x^{2}-10x+25-4x=-4$$

Combiner -10x et -4x pour obtenir -14x.

$$x^{2}-14x+25=-4$$

Ajouter 4 aux deux côtés.

$$x^{2}-14x+25+4=0$$

Additionner 25 et 4 pour obtenir 29.

$$x^{2}-14x+29=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -14 à b et 29 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 29}}{2}$$

Calculer le carré de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 29}}{2}$$

Multiplier -4 par 29.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-116}}{2}$$

Additionner 196 et -116.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 80.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

L’inverse de -14 est 14.

$$x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2} lorsque ± est positif. Additionner 14 et 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+14}{2}$$

Diviser 14+4\sqrt{5} par 2.

$$x=2\sqrt{5}+7$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 4\sqrt{5} à 14.

$$x=\frac{14-4\sqrt{5}}{2}$$

Diviser 14-4\sqrt{5} par 2.

$$x=7-2\sqrt{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=2\sqrt{5}+7 x=7-2\sqrt{5}$$

Remplacez x par 2\sqrt{5}+7 dans l’équation \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Simplifier. La valeur x=2\sqrt{5}+7 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

Remplacez x par 7-2\sqrt{5} dans l’équation \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(7-2\sqrt{5}\right)-5}-\sqrt{7-2\sqrt{5}-1}=1$$

Simplifier. La valeur x=7-2\sqrt{5} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-1=1$$

Remplacez x par 2\sqrt{5}+7 dans l’équation \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Simplifier. La valeur x=2\sqrt{5}+7 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

L’équation \sqrt{2x-5}=\sqrt{x-1}+1 a une solution unique.

$$x=2\sqrt{5}+7$$