Résoudre sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Calculer x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Le plus petit dénominateur commun de 2 et 4 est 4. Convertissez \frac{1}{2} et \frac{1}{4} en fractions avec le dénominateur 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Étant donné que \frac{2}{4} et \frac{1}{4} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Additionner 2 et 1 pour obtenir 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Le plus petit dénominateur commun de 4 et 8 est 8. Convertissez \frac{3}{4} et \frac{1}{8} en fractions avec le dénominateur 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Étant donné que \frac{6}{8} et \frac{1}{8} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Additionner 6 et 1 pour obtenir 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Le plus petit dénominateur commun de 8 et 16 est 16. Convertissez \frac{7}{8} et \frac{1}{16} en fractions avec le dénominateur 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Étant donné que \frac{14}{16} et \frac{1}{16} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Additionner 14 et 1 pour obtenir 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Calculer \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} à la puissance 2 et obtenir \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, \frac{1}{2} à b et \frac{15}{16} à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner \frac{1}{4} et \frac{15}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -\frac{1}{2} et 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Diviser \frac{3}{2} par -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 2 à -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Diviser -\frac{5}{2} par -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Remplacez x par -\frac{3}{4} dans l’équation \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Simplifier. La valeur x=-\frac{3}{4} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Remplacez x par \frac{5}{4} dans l’équation \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{5}{4} satisfait à l’équation.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

L’équation \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x a une solution unique.

$$x=\frac{5}{4}$$