Résoudre sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Calculer x

$$x=3$$

Étapes de la solution

Soustraire \sqrt{2x-2} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-3} à la puissance 2 et obtenir x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-2} à la puissance 2 et obtenir 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Soustraire 2 de 4 pour obtenir 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Soustraire 2+2x des deux côtés de l’équation.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Pour trouver l’opposé de 2+2x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Soustraire 2 de -3 pour obtenir -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Combiner x et -2x pour obtenir -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Étendre \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculer -4 à la puissance 2 et obtenir 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-2} à la puissance 2 et obtenir 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 16 par 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Soustraire 32x des deux côtés.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Combiner 10x et -32x pour obtenir -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Ajouter 32 aux deux côtés.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Additionner 25 et 32 pour obtenir 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Pour résoudre l’équation, facteur x^{2}-22x+57 à l’aide de la x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-22 ab=57$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

La solution est la paire qui donne la somme -22.

$$a=-19 b=-3$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(x+a\right)\left(x+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-19=0 et x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Remplacez x par 19 dans l’équation \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Simplifier. La valeur x=19 ne satisfait pas l’équation.

$$10=2$$

Remplacez x par 3 dans l’équation \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Simplifier. La valeur x=3 satisfait à l’équation.

$$2=2$$

L’équation \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 a une solution unique.

$$x=3$$