Résoudre sqrt{x-1}+sqrt{x-4}=sqrt{x+4}

$$\sqrt { x - 1 } + \sqrt { x - 4 } = \sqrt { x + 4 }$$

Calculer x

$$x=5$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-4}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}+2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}+\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-1} à la puissance 2 et obtenir x-1.

$$x-1+2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}+\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-4} à la puissance 2 et obtenir x-4.

$$x-1+2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}+x-4=\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}$$

Combiner x et x pour obtenir 2x.

$$2x-1+2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}-4=\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}$$

Soustraire 4 de -1 pour obtenir -5.

$$2x-5+2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}=\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+4} à la puissance 2 et obtenir x+4.

$$2x-5+2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}=x+4$$

Soustraire 2x-5 des deux côtés de l’équation.

$$2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}=x+4-\left(2x-5\right)$$

Pour trouver l’opposé de 2x-5, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}=x+4-2x+5$$

Combiner x et -2x pour obtenir -x.

$$2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}=-x+4+5$$

Additionner 4 et 5 pour obtenir 9.

$$2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}=-x+9$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(-x+9\right)^{2}$$

Étendre \left(2\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(-x+9\right)^{2}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(-x+9\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-1} à la puissance 2 et obtenir x-1.

$$4\left(x-1\right)\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(-x+9\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-4} à la puissance 2 et obtenir x-4.

$$4\left(x-1\right)\left(x-4\right)=\left(-x+9\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x-1.

$$\left(4x-4\right)\left(x-4\right)=\left(-x+9\right)^{2}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 4x-4 par chaque terme de x-4.

$$4x^{2}-16x-4x+16=\left(-x+9\right)^{2}$$

Combiner -16x et -4x pour obtenir -20x.

$$4x^{2}-20x+16=\left(-x+9\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(-x+9\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+16=x^{2}-18x+81$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$4x^{2}-20x+16-x^{2}=-18x+81$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-20x+16=-18x+81$$

Ajouter 18x aux deux côtés.

$$3x^{2}-20x+16+18x=81$$

Combiner -20x et 18x pour obtenir -2x.

$$3x^{2}-2x+16=81$$

Soustraire 81 des deux côtés.

$$3x^{2}-2x+16-81=0$$

Soustraire 81 de 16 pour obtenir -65.

$$3x^{2}-2x-65=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-65. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-2 ab=3\left(-65\right)=-195$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -195.

$$1,-195 3,-65 5,-39 13,-15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-195=-194 3-65=-62 5-39=-34 13-15=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -2.

$$a=-15 b=13$$

Réécrire 3x^{2}-2x-65 en tant qu’\left(3x^{2}-15x\right)+\left(13x-65\right).

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(13x-65\right)$$

Factorisez 3x du premier et 13 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-5\right)+13\left(x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-5\right)\left(3x+13\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-5=0 et 3x+13=0.

$$x=5 x=-\frac{13}{3}$$

Remplacez x par -\frac{13}{3} dans l’équation \sqrt{x-1}+\sqrt{x-4}=\sqrt{x+4}. L’expression \sqrt{-\frac{13}{3}-1} n’est pas définie, car le radicand ne peut pas être négatif.

$$\sqrt{-\frac{13}{3}-1}+\sqrt{-\frac{13}{3}-4}=\sqrt{-\frac{13}{3}+4}$$

Remplacez x par 5 dans l’équation \sqrt{x-1}+\sqrt{x-4}=\sqrt{x+4}.

$$\sqrt{5-1}+\sqrt{5-4}=\sqrt{5+4}$$

Simplifier. La valeur x=5 satisfait à l’équation.

$$3=3$$

L’équation \sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}=\sqrt{x+4} a une solution unique.

$$x=5$$