Résoudre sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x^{2}-1} à la puissance 2 et obtenir x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x+1} à la puissance 2 et obtenir 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Soustraire 2x des deux côtés.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Soustraire 1 des deux côtés.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Soustraire 1 de -1 pour obtenir -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -2 à b et -2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Calculer le carré de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplier -4 par -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Additionner 4 et 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Diviser 2+2\sqrt{3} par 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 2\sqrt{3} à 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Diviser 2-2\sqrt{3} par 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Remplacez x par \sqrt{3}+1 dans l’équation \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplifier. La valeur x=\sqrt{3}+1 satisfait à l’équation.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par 1-\sqrt{3} dans l’équation \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Simplifier. La valeur x=1-\sqrt{3} satisfait à l’équation.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Calculer x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x^{2}-1} à la puissance 2 et obtenir x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x+1} à la puissance 2 et obtenir 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Soustraire 2x des deux côtés.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Soustraire 1 des deux côtés.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Soustraire 1 de -1 pour obtenir -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -2 à b et -2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Calculer le carré de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplier -4 par -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Additionner 4 et 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Diviser 2+2\sqrt{3} par 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 2\sqrt{3} à 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Diviser 2-2\sqrt{3} par 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Remplacez x par \sqrt{3}+1 dans l’équation \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplifier. La valeur x=\sqrt{3}+1 satisfait à l’équation.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par 1-\sqrt{3} dans l’équation \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. L’expression \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} n’est pas définie, car le radicand ne peut pas être négatif.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

L’équation \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} a une solution unique.

$$x=\sqrt{3}+1$$