Résoudre sqrt{x^2+2x+9}-7=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 9 } - 7 = 2 x$$

Calculer x

$$x=-2$$

Étapes de la solution

Soustraire -7 des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+9}\right)^{2}=\left(2x+7\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x^{2}+2x+9} à la puissance 2 et obtenir x^{2}+2x+9.

$$x^{2}+2x+9=\left(2x+7\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+9=4x^{2}+28x+49$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}+2x+9-4x^{2}=28x+49$$

Combiner x^{2} et -4x^{2} pour obtenir -3x^{2}.

$$-3x^{2}+2x+9=28x+49$$

Soustraire 28x des deux côtés.

$$-3x^{2}+2x+9-28x=49$$

Combiner 2x et -28x pour obtenir -26x.

$$-3x^{2}-26x+9=49$$

Soustraire 49 des deux côtés.

$$-3x^{2}-26x+9-49=0$$

Soustraire 49 de 9 pour obtenir -40.

$$-3x^{2}-26x-40=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -3x^{2}+ax+bx-40. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-26 ab=-3\left(-40\right)=120$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La solution est la paire qui donne la somme -26.

$$a=-6 b=-20$$

Réécrire -3x^{2}-26x-40 en tant qu’\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right).

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right)$$

Factorisez 3x du premier et 20 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(-x-2\right)+20\left(-x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun -x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x-2=0 et 3x+20=0.

$$x=-2 x=-\frac{20}{3}$$

Remplacez x par -2 dans l’équation \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)+9}-7=2\left(-2\right)$$

Simplifier. La valeur x=-2 satisfait à l’équation.

$$-4=-4$$

Remplacez x par -\frac{20}{3} dans l’équation \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}+2\left(-\frac{20}{3}\right)+9}-7=2\left(-\frac{20}{3}\right)$$

Simplifier. La valeur x=-\frac{20}{3} ne satisfait pas l’équation.

$$-\frac{2}{3}=-\frac{40}{3}$$

L’équation \sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7 a une solution unique.

$$x=-2$$