Résoudre sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 9 x + 70 } = - 2 \sqrt { x + 9 }$$

Calculer x

$$x=-5$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+6} à la puissance 2 et obtenir x+6.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{9x+70} à la puissance 2 et obtenir 9x+70.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Combiner x et 9x pour obtenir 10x.

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Additionner 6 et 70 pour obtenir 76.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Étendre \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calculer -2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+9} à la puissance 2 et obtenir x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

Soustraire 10x+76 des deux côtés de l’équation.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

Pour trouver l’opposé de 10x+76, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

Combiner 4x et -10x pour obtenir -6x.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

Soustraire 76 de 36 pour obtenir -40.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Étendre \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calculer -2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+6} à la puissance 2 et obtenir x+6.

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{9x+70} à la puissance 2 et obtenir 9x+70.

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x+6.

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 4x+24 par chaque terme de 9x+70.

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Combiner 280x et 216x pour obtenir 496x.

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(-6x-40\right)^{2}.

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

Soustraire 36x^{2} des deux côtés.

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

Combiner 36x^{2} et -36x^{2} pour obtenir 0.

$$496x+1680=480x+1600$$

Soustraire 480x des deux côtés.

$$496x+1680-480x=1600$$

Combiner 496x et -480x pour obtenir 16x.

$$16x+1680=1600$$

Soustraire 1680 des deux côtés.

$$16x=1600-1680$$

Soustraire 1680 de 1600 pour obtenir -80.

$$16x=-80$$

Divisez les deux côtés par 16.

$$x=\frac{-80}{16}$$

Diviser -80 par 16 pour obtenir -5.

$$x=-5$$

Remplacez x par -5 dans l’équation \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9}.

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

Simplifier. La valeur x=-5 satisfait à l’équation.

$$-4=-4$$

L’équation \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} a une solution unique.

$$x=-5$$