Résoudre sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Calculer x

$$x=-2$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+3} à la puissance 2 et obtenir x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+6} à la puissance 2 et obtenir x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Combiner x et x pour obtenir 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Additionner 3 et 6 pour obtenir 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+11} à la puissance 2 et obtenir x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Soustraire 2x+9 des deux côtés de l’équation.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Pour trouver l’opposé de 2x+9, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Combiner x et -2x pour obtenir -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Soustraire 9 de 11 pour obtenir 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Étendre \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+3} à la puissance 2 et obtenir x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+6} à la puissance 2 et obtenir x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 4x+12 par chaque terme de x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Combiner 24x et 12x pour obtenir 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Ajouter 4x aux deux côtés.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Combiner 36x et 4x pour obtenir 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Soustraire 4 des deux côtés.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Soustraire 4 de 72 pour obtenir 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx+68. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

La solution est la paire qui donne la somme 40.

$$a=6 b=34$$

Réécrire 3x^{2}+40x+68 en tant qu’\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Factorisez 3x du premier et 34 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Factoriser le facteur commun x+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x+2=0 et 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Remplacez x par -\frac{34}{3} dans l’équation \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. L’expression \sqrt{-\frac{34}{3}+3} n’est pas définie, car le radicand ne peut pas être négatif.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Remplacez x par -2 dans l’équation \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Simplifier. La valeur x=-2 satisfait à l’équation.

$$3=3$$

L’équation \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} a une solution unique.

$$x=-2$$