Résoudre sqrt{x+14}-sqrt{2x+5}=1

$$\sqrt { x + 14 } - \sqrt { 2 x + 5 } = 1$$

Calculer x

$$x=2$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{2x+5} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{x+14}=1+\sqrt{2x+5}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+14}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+14} à la puissance 2 et obtenir x+14.

$$x+14=\left(1+\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(1+\sqrt{2x+5}\right)^{2}.

$$x+14=1+2\sqrt{2x+5}+\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x+5} à la puissance 2 et obtenir 2x+5.

$$x+14=1+2\sqrt{2x+5}+2x+5$$

Additionner 1 et 5 pour obtenir 6.

$$x+14=6+2\sqrt{2x+5}+2x$$

Soustraire 6+2x des deux côtés de l’équation.

$$x+14-\left(6+2x\right)=2\sqrt{2x+5}$$

Pour trouver l’opposé de 6+2x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x+14-6-2x=2\sqrt{2x+5}$$

Soustraire 6 de 14 pour obtenir 8.

$$x+8-2x=2\sqrt{2x+5}$$

Combiner x et -2x pour obtenir -x.

$$-x+8=2\sqrt{2x+5}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-x+8\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(-x+8\right)^{2}.

$$x^{2}-16x+64=\left(2\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Étendre \left(2\sqrt{2x+5}\right)^{2}.

$$x^{2}-16x+64=2^{2}\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$x^{2}-16x+64=4\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x+5} à la puissance 2 et obtenir 2x+5.

$$x^{2}-16x+64=4\left(2x+5\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par 2x+5.

$$x^{2}-16x+64=8x+20$$

Soustraire 8x des deux côtés.

$$x^{2}-16x+64-8x=20$$

Combiner -16x et -8x pour obtenir -24x.

$$x^{2}-24x+64=20$$

Soustraire 20 des deux côtés.

$$x^{2}-24x+64-20=0$$

Soustraire 20 de 64 pour obtenir 44.

$$x^{2}-24x+44=0$$

Pour résoudre l’équation, facteur x^{2}-24x+44 à l’aide de la x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-24 ab=44$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

La solution est la paire qui donne la somme -24.

$$a=-22 b=-2$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(x+a\right)\left(x+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(x-22\right)\left(x-2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-22=0 et x-2=0.

$$x=22 x=2$$

Remplacez x par 22 dans l’équation \sqrt{x+14}-\sqrt{2x+5}=1.

$$\sqrt{22+14}-\sqrt{2\times 22+5}=1$$

Simplifier. La valeur x=22 ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-1=1$$

Remplacez x par 2 dans l’équation \sqrt{x+14}-\sqrt{2x+5}=1.

$$\sqrt{2+14}-\sqrt{2\times 2+5}=1$$

Simplifier. La valeur x=2 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

L’équation \sqrt{x+14}=\sqrt{2x+5}+1 a une solution unique.

$$x=2$$