Résoudre sqrt{x+1}-sqrt{9-x}=sqrt{2x-12}

$$\sqrt { x + 1 } - \sqrt { 9 - x } = \sqrt { 2 x - 12 }$$

Calculer x

$$x=8$$

$$x=7$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}+\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+1} à la puissance 2 et obtenir x+1.

$$x+1-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}+\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{9-x} à la puissance 2 et obtenir 9-x.

$$x+1-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}+9-x=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Additionner 1 et 9 pour obtenir 10.

$$x+10-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}-x=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Combiner x et -x pour obtenir 0.

$$10-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-12} à la puissance 2 et obtenir 2x-12.

$$10-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=2x-12$$

Soustraire 10 des deux côtés de l’équation.

$$-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=2x-12-10$$

Soustraire 10 de -12 pour obtenir -22.

$$-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=2x-22$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Étendre \left(-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Calculer -2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+1} à la puissance 2 et obtenir x+1.

$$4\left(x+1\right)\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{9-x} à la puissance 2 et obtenir 9-x.

$$4\left(x+1\right)\left(9-x\right)=\left(2x-22\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x+1.

$$\left(4x+4\right)\left(9-x\right)=\left(2x-22\right)^{2}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 4x+4 par chaque terme de 9-x.

$$36x-4x^{2}+36-4x=\left(2x-22\right)^{2}$$

Combiner 36x et -4x pour obtenir 32x.

$$32x-4x^{2}+36=\left(2x-22\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-22\right)^{2}.

$$32x-4x^{2}+36=4x^{2}-88x+484$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$32x-4x^{2}+36-4x^{2}=-88x+484$$

Combiner -4x^{2} et -4x^{2} pour obtenir -8x^{2}.

$$32x-8x^{2}+36=-88x+484$$

Ajouter 88x aux deux côtés.

$$32x-8x^{2}+36+88x=484$$

Combiner 32x et 88x pour obtenir 120x.

$$120x-8x^{2}+36=484$$

Soustraire 484 des deux côtés.

$$120x-8x^{2}+36-484=0$$

Soustraire 484 de 36 pour obtenir -448.

$$120x-8x^{2}-448=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-8x^{2}+120x-448=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -8 à a, 120 à b et -448 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\left(-448\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Calculer le carré de 120.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\left(-448\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplier -4 par -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\left(-448\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplier 32 par -448.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-14336}}{2\left(-8\right)}$$

Additionner 14400 et -14336.

$$x=\frac{-120±\sqrt{64}}{2\left(-8\right)}$$

Extraire la racine carrée de 64.

$$x=\frac{-120±8}{2\left(-8\right)}$$

Multiplier 2 par -8.

$$x=\frac{-120±8}{-16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-120±8}{-16} lorsque ± est positif. Additionner -120 et 8.

$$x=-\frac{112}{-16}$$

Diviser -112 par -16.

$$x=7$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-120±8}{-16} lorsque ± est négatif. Soustraire 8 à -120.

$$x=-\frac{128}{-16}$$

Diviser -128 par -16.

$$x=8$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=7 x=8$$

Remplacez x par 7 dans l’équation \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.

$$\sqrt{7+1}-\sqrt{9-7}=\sqrt{2\times 7-12}$$

Simplifier. La valeur x=7 satisfait à l’équation.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par 8 dans l’équation \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.

$$\sqrt{8+1}-\sqrt{9-8}=\sqrt{2\times 8-12}$$

Simplifier. La valeur x=8 satisfait à l’équation.

$$2=2$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.

$$x=7 x=8$$