Résoudre sqrt{a^2-4a+20}=sqrt{a}

$$\sqrt { a ^ { 2 } - 4 a + 20 } = \sqrt { a }$$

Calculer a

$$a=2\sqrt{5}e^{\arctan(\frac{\sqrt{55}}{5})i}\approx 2,5+3,708099244i$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{a^{2}-4a+20}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{a^{2}-4a+20} à la puissance 2 et obtenir a^{2}-4a+20.

$$a^{2}-4a+20=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{a} à la puissance 2 et obtenir a.

$$a^{2}-4a+20=a$$

Soustraire a des deux côtés.

$$a^{2}-4a+20-a=0$$

Combiner -4a et -a pour obtenir -5a.

$$a^{2}-5a+20=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -5 à b et 20 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 20}}{2}$$

Calculer le carré de -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 20}}{2}$$

Multiplier -4 par 20.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-80}}{2}$$

Additionner 25 et -80.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-55}}{2}$$

Extraire la racine carrée de -55.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{55}i}{2}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2} lorsque ± est positif. Additionner 5 et i\sqrt{55}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{55} à 5.

$$a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Remplacez a par \frac{5+\sqrt{55}i}{2} dans l’équation \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{5+\sqrt{55}i}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5+\sqrt{55}i}{2}+20}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{55}i}{2}}$$

Simplifier. La valeur a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} satisfait à l’équation.

$$\frac{1}{2}\left(10+2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez a par \frac{-\sqrt{55}i+5}{2} dans l’équation \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}\right)^{2}-4\times \frac{-\sqrt{55}i+5}{2}+20}=\sqrt{\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}}$$

Simplifier. La valeur a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2} satisfait à l’équation.

$$\frac{1}{2}\left(10-2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}+\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$