Résoudre sqrt{7x}-sqrt{5}=sqrt{3x}

$$\sqrt { 7 x } - \sqrt { 5 } = \sqrt { 3 x }$$

Calculer x

$$x = \frac{5 {(\sqrt{21} + 5)}}{8} \approx 5,989109809$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{7x}-\sqrt{5}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{7x}-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{7x}\right)^{2}-2\sqrt{7x}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{7x} à la puissance 2 et obtenir 7x.

$$7x-2\sqrt{7x}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$7x-2\sqrt{7x}\sqrt{5}+5=\left(\sqrt{3x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{3x} à la puissance 2 et obtenir 3x.

$$7x-2\sqrt{7x}\sqrt{5}+5=3x$$

Soustraire 7x+5 des deux côtés de l’équation.

$$-2\sqrt{7x}\sqrt{5}=3x-\left(7x+5\right)$$

Pour trouver l’opposé de 7x+5, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$-2\sqrt{7x}\sqrt{5}=3x-7x-5$$

Combiner 3x et -7x pour obtenir -4x.

$$-2\sqrt{7x}\sqrt{5}=-4x-5$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-2\sqrt{7x}\sqrt{5}\right)^{2}=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Étendre \left(-2\sqrt{7x}\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{7x}\right)^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Calculer -2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{7x}\right)^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{7x} à la puissance 2 et obtenir 7x.

$$4\times 7x\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Multiplier 4 et 7 pour obtenir 28.

$$28x\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$28x\times 5=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Multiplier 28 et 5 pour obtenir 140.

$$140x=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(-4x-5\right)^{2}.

$$140x=16x^{2}+40x+25$$

Soustraire 16x^{2} des deux côtés.

$$140x-16x^{2}=40x+25$$

Soustraire 40x des deux côtés.

$$140x-16x^{2}-40x=25$$

Combiner 140x et -40x pour obtenir 100x.

$$100x-16x^{2}=25$$

Soustraire 25 des deux côtés.

$$100x-16x^{2}-25=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-16x^{2}+100x-25=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -16 à a, 100 à b et -25 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-16\right)\left(-25\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Calculer le carré de 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-16\right)\left(-25\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier -4 par -16.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+64\left(-25\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier 64 par -25.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-1600}}{2\left(-16\right)}$$

Additionner 10000 et -1600.

$$x=\frac{-100±\sqrt{8400}}{2\left(-16\right)}$$

Extraire la racine carrée de 8400.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{21}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier 2 par -16.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{21}}{-32}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-100±20\sqrt{21}}{-32} lorsque ± est positif. Additionner -100 et 20\sqrt{21}.

$$x=\frac{20\sqrt{21}-100}{-32}$$

Diviser -100+20\sqrt{21} par -32.

$$x=\frac{25-5\sqrt{21}}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-100±20\sqrt{21}}{-32} lorsque ± est négatif. Soustraire 20\sqrt{21} à -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{21}-100}{-32}$$

Diviser -100-20\sqrt{21} par -32.

$$x=\frac{5\sqrt{21}+25}{8}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{25-5\sqrt{21}}{8} x=\frac{5\sqrt{21}+25}{8}$$

Remplacez x par \frac{25-5\sqrt{21}}{8} dans l’équation \sqrt{7x}-\sqrt{5}=\sqrt{3x}.

$$\sqrt{7\times \frac{25-5\sqrt{21}}{8}}-\sqrt{5}=\sqrt{3\times \frac{25-5\sqrt{21}}{8}}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{25-5\sqrt{21}}{8} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$\frac{3}{4}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}\times 105^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 105^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par \frac{5\sqrt{21}+25}{8} dans l’équation \sqrt{7x}-\sqrt{5}=\sqrt{3x}.

$$\sqrt{7\times \frac{5\sqrt{21}+25}{8}}-\sqrt{5}=\sqrt{3\times \frac{5\sqrt{21}+25}{8}}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{5\sqrt{21}+25}{8} satisfait à l’équation.

$$\frac{3}{4}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}\times 105^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 105^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

L’équation \sqrt{7x}-\sqrt{5}=\sqrt{3x} a une solution unique.

$$x=\frac{5\sqrt{21}+25}{8}$$