Résoudre sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Calculer x

$$x=2$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{7x+67} à la puissance 2 et obtenir 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2x+5\right)^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Soustraire 20x des deux côtés.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Combiner 7x et -20x pour obtenir -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Soustraire 25 des deux côtés.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Soustraire 25 de 67 pour obtenir 42.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -4x^{2}+ax+bx+42. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -13.

$$a=8 b=-21$$

Réécrire -4x^{2}-13x+42 en tant qu’\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Factorisez 4x du premier et 21 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+2=0 et 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Remplacez x par 2 dans l’équation \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Simplifier. La valeur x=2 satisfait à l’équation.

$$9=9$$

Remplacez x par -\frac{21}{4} dans l’équation \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Simplifier. La valeur x=-\frac{21}{4} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

L’équation \sqrt{7x+67}=2x+5 a une solution unique.

$$x=2$$