Résoudre sqrt{6x-1}-sqrt{5x+4}=9

$$\sqrt { 6 x - 1 } - \sqrt { 5 x + 4 } = 9$$

Calculer x

$$x=18\sqrt{2459}+896\approx 1788,589491312$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{5x+4} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{6x-1}=9+\sqrt{5x+4}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{6x-1}\right)^{2}=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{6x-1} à la puissance 2 et obtenir 6x-1.

$$6x-1=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{5x+4} à la puissance 2 et obtenir 5x+4.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+5x+4$$

Additionner 81 et 4 pour obtenir 85.

$$6x-1=85+18\sqrt{5x+4}+5x$$

Soustraire 85+5x des deux côtés de l’équation.

$$6x-1-\left(85+5x\right)=18\sqrt{5x+4}$$

Pour trouver l’opposé de 85+5x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$6x-1-85-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Soustraire 85 de -1 pour obtenir -86.

$$6x-86-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Combiner 6x et -5x pour obtenir x.

$$x-86=18\sqrt{5x+4}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(x-86\right)^{2}=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-86\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Étendre \left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=18^{2}\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Calculer 18 à la puissance 2 et obtenir 324.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{5x+4} à la puissance 2 et obtenir 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(5x+4\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 324 par 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=1620x+1296$$

Soustraire 1620x des deux côtés.

$$x^{2}-172x+7396-1620x=1296$$

Combiner -172x et -1620x pour obtenir -1792x.

$$x^{2}-1792x+7396=1296$$

Soustraire 1296 des deux côtés.

$$x^{2}-1792x+7396-1296=0$$

Soustraire 1296 de 7396 pour obtenir 6100.

$$x^{2}-1792x+6100=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -1792 à b et 6100 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{\left(-1792\right)^{2}-4\times 6100}}{2}$$

Calculer le carré de -1792.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-4\times 6100}}{2}$$

Multiplier -4 par 6100.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-24400}}{2}$$

Additionner 3211264 et -24400.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3186864}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 3186864.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±36\sqrt{2459}}{2}$$

L’inverse de -1792 est 1792.

$$x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} lorsque ± est positif. Additionner 1792 et 36\sqrt{2459}.

$$x=\frac{36\sqrt{2459}+1792}{2}$$

Diviser 1792+36\sqrt{2459} par 2.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 36\sqrt{2459} à 1792.

$$x=\frac{1792-36\sqrt{2459}}{2}$$

Diviser 1792-36\sqrt{2459} par 2.

$$x=896-18\sqrt{2459}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=18\sqrt{2459}+896 x=896-18\sqrt{2459}$$

Remplacez x par 18\sqrt{2459}+896 dans l’équation \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Simplifier. La valeur x=18\sqrt{2459}+896 satisfait à l’équation.

$$9=9$$

Remplacez x par 896-18\sqrt{2459} dans l’équation \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(896-18\sqrt{2459}\right)-1}-\sqrt{5\left(896-18\sqrt{2459}\right)+4}=9$$

Simplifier. La valeur x=896-18\sqrt{2459} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$99-2\times 2459^{\frac{1}{2}}=9$$

Remplacez x par 18\sqrt{2459}+896 dans l’équation \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Simplifier. La valeur x=18\sqrt{2459}+896 satisfait à l’équation.

$$9=9$$

L’équation \sqrt{6x-1}=\sqrt{5x+4}+9 a une solution unique.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$