Résoudre sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Calculer x

$$x=2$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{5x-1} à la puissance 2 et obtenir 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{3x-2} à la puissance 2 et obtenir 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Combiner 5x et 3x pour obtenir 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Soustraire 2 de -1 pour obtenir -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-1} à la puissance 2 et obtenir x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Soustraire 8x-3 des deux côtés de l’équation.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Pour trouver l’opposé de 8x-3, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Combiner x et -8x pour obtenir -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Additionner -1 et 3 pour obtenir 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Étendre \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calculer -2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{5x-1} à la puissance 2 et obtenir 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{3x-2} à la puissance 2 et obtenir 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 20x-4 par chaque terme de 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Combiner -40x et -12x pour obtenir -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Soustraire 49x^{2} des deux côtés.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Combiner 60x^{2} et -49x^{2} pour obtenir 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Ajouter 28x aux deux côtés.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Combiner -52x et 28x pour obtenir -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Soustraire 4 des deux côtés.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Soustraire 4 de 8 pour obtenir 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 11x^{2}+ax+bx+4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

La solution est la paire qui donne la somme -24.

$$a=-22 b=-2$$

Réécrire 11x^{2}-24x+4 en tant qu’\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Factorisez 11x du premier et -2 dans le deuxième groupe.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-2=0 et 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Remplacez x par \frac{2}{11} dans l’équation \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. L’expression \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} n’est pas définie, car le radicand ne peut pas être négatif.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Remplacez x par 2 dans l’équation \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Simplifier. La valeur x=2 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

L’équation \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} a une solution unique.

$$x=2$$