Résoudre sqrt{4y+20}-sqrt{y-4}=6

$$\sqrt { 4 y + 20 } - \sqrt { y - 4 } = 6$$

Calculer y

$$y=20$$

$$y=4$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{y-4} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{4y+20}=6+\sqrt{y-4}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{4y+20}\right)^{2}=\left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{4y+20} à la puissance 2 et obtenir 4y+20.

$$4y+20=\left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}.

$$4y+20=36+12\sqrt{y-4}+\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{y-4} à la puissance 2 et obtenir y-4.

$$4y+20=36+12\sqrt{y-4}+y-4$$

Soustraire 4 de 36 pour obtenir 32.

$$4y+20=32+12\sqrt{y-4}+y$$

Soustraire 32+y des deux côtés de l’équation.

$$4y+20-\left(32+y\right)=12\sqrt{y-4}$$

Pour trouver l’opposé de 32+y, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4y+20-32-y=12\sqrt{y-4}$$

Soustraire 32 de 20 pour obtenir -12.

$$4y-12-y=12\sqrt{y-4}$$

Combiner 4y et -y pour obtenir 3y.

$$3y-12=12\sqrt{y-4}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(3y-12\right)^{2}=\left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3y-12\right)^{2}.

$$9y^{2}-72y+144=\left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Étendre \left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}.

$$9y^{2}-72y+144=12^{2}\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Calculer 12 à la puissance 2 et obtenir 144.

$$9y^{2}-72y+144=144\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{y-4} à la puissance 2 et obtenir y-4.

$$9y^{2}-72y+144=144\left(y-4\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 144 par y-4.

$$9y^{2}-72y+144=144y-576$$

Soustraire 144y des deux côtés.

$$9y^{2}-72y+144-144y=-576$$

Combiner -72y et -144y pour obtenir -216y.

$$9y^{2}-216y+144=-576$$

Ajouter 576 aux deux côtés.

$$9y^{2}-216y+144+576=0$$

Additionner 144 et 576 pour obtenir 720.

$$9y^{2}-216y+720=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -216 à b et 720 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{\left(-216\right)^{2}-4\times 9\times 720}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -216.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-4\times 9\times 720}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-36\times 720}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 720.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-25920}}{2\times 9}$$

Additionner 46656 et -25920.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{20736}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 20736.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±144}{2\times 9}$$

L’inverse de -216 est 216.

$$y=\frac{216±144}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$y=\frac{216±144}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{216±144}{18} lorsque ± est positif. Additionner 216 et 144.

$$y=\frac{360}{18}$$

Diviser 360 par 18.

$$y=20$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{216±144}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 144 à 216.

$$y=\frac{72}{18}$$

Diviser 72 par 18.

$$y=4$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=20 y=4$$

Remplacez y par 20 dans l’équation \sqrt{4y+20}-\sqrt{y-4}=6.

$$\sqrt{4\times 20+20}-\sqrt{20-4}=6$$

Simplifier. La valeur y=20 satisfait à l’équation.

$$6=6$$

Remplacez y par 4 dans l’équation \sqrt{4y+20}-\sqrt{y-4}=6.

$$\sqrt{4\times 4+20}-\sqrt{4-4}=6$$

Simplifier. La valeur y=4 satisfait à l’équation.

$$6=6$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{4y+20}=\sqrt{y-4}+6.

$$y=20 y=4$$