Résoudre sqrt{2x-1}-sqrt{x-1}=sqrt{6-x}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 6 - x }$$

Calculer x

$$x=5$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-1} à la puissance 2 et obtenir 2x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-1} à la puissance 2 et obtenir x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+x-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Combiner 2x et x pour obtenir 3x.

$$3x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Soustraire 1 de -1 pour obtenir -2.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{6-x} à la puissance 2 et obtenir 6-x.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x$$

Soustraire 3x-2 des deux côtés de l’équation.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-\left(3x-2\right)$$

Pour trouver l’opposé de 3x-2, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-3x+2$$

Combiner -x et -3x pour obtenir -4x.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-4x+2$$

Additionner 6 et 2 pour obtenir 8.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=8-4x$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Étendre \left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Calculer -2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-1} à la puissance 2 et obtenir 2x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-1} à la puissance 2 et obtenir x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par 2x-1.

$$\left(8x-4\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 8x-4 par chaque terme de x-1.

$$8x^{2}-8x-4x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Combiner -8x et -4x pour obtenir -12x.

$$8x^{2}-12x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(8-4x\right)^{2}.

$$8x^{2}-12x+4=64-64x+16x^{2}$$

Soustraire 64 des deux côtés.

$$8x^{2}-12x+4-64=-64x+16x^{2}$$

Soustraire 64 de 4 pour obtenir -60.

$$8x^{2}-12x-60=-64x+16x^{2}$$

Ajouter 64x aux deux côtés.

$$8x^{2}-12x-60+64x=16x^{2}$$

Combiner -12x et 64x pour obtenir 52x.

$$8x^{2}+52x-60=16x^{2}$$

Soustraire 16x^{2} des deux côtés.

$$8x^{2}+52x-60-16x^{2}=0$$

Combiner 8x^{2} et -16x^{2} pour obtenir -8x^{2}.

$$-8x^{2}+52x-60=0$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -2x^{2}+ax+bx-15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La solution est la paire qui donne la somme 13.

$$a=10 b=3$$

Réécrire -2x^{2}+13x-15 en tant qu’\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Factorisez 2x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+5 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+5=0 et 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Remplacez x par 5 dans l’équation \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Simplifier. La valeur x=5 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

Remplacez x par \frac{3}{2} dans l’équation \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times \frac{3}{2}-1}-\sqrt{\frac{3}{2}-1}=\sqrt{6-\frac{3}{2}}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{3}{2} ne satisfait pas l’équation.

$$\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par 5 dans l’équation \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Simplifier. La valeur x=5 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

L’équation \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} a une solution unique.

$$x=5$$