Résoudre sqrt{2x+3}+sqrt{x-2}=4

$$\sqrt { 2 x + 3 } + \sqrt { x - 2 } = 4$$

Calculer x

$$x=3$$

Étapes de la solution

Soustraire \sqrt{x-2} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{2x+3}=4-\sqrt{x-2}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{2x+3}\right)^{2}=\left(4-\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x+3} à la puissance 2 et obtenir 2x+3.

$$2x+3=\left(4-\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(4-\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$2x+3=16-8\sqrt{x-2}+\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-2} à la puissance 2 et obtenir x-2.

$$2x+3=16-8\sqrt{x-2}+x-2$$

Soustraire 2 de 16 pour obtenir 14.

$$2x+3=14-8\sqrt{x-2}+x$$

Soustraire 14+x des deux côtés de l’équation.

$$2x+3-\left(14+x\right)=-8\sqrt{x-2}$$

Pour trouver l’opposé de 14+x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2x+3-14-x=-8\sqrt{x-2}$$

Soustraire 14 de 3 pour obtenir -11.

$$2x-11-x=-8\sqrt{x-2}$$

Combiner 2x et -x pour obtenir x.

$$x-11=-8\sqrt{x-2}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(x-11\right)^{2}=\left(-8\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-11\right)^{2}.

$$x^{2}-22x+121=\left(-8\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Étendre \left(-8\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}-22x+121=\left(-8\right)^{2}\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calculer -8 à la puissance 2 et obtenir 64.

$$x^{2}-22x+121=64\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-2} à la puissance 2 et obtenir x-2.

$$x^{2}-22x+121=64\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 64 par x-2.

$$x^{2}-22x+121=64x-128$$

Soustraire 64x des deux côtés.

$$x^{2}-22x+121-64x=-128$$

Combiner -22x et -64x pour obtenir -86x.

$$x^{2}-86x+121=-128$$

Ajouter 128 aux deux côtés.

$$x^{2}-86x+121+128=0$$

Additionner 121 et 128 pour obtenir 249.

$$x^{2}-86x+249=0$$

Pour résoudre l’équation, facteur x^{2}-86x+249 à l’aide de la x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-86 ab=249$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 249.

$$-1,-249 -3,-83$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-249=-250 -3-83=-86$$

La solution est la paire qui donne la somme -86.

$$a=-83 b=-3$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(x+a\right)\left(x+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(x-83\right)\left(x-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-83=0 et x-3=0.

$$x=83 x=3$$

Remplacez x par 83 dans l’équation \sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}=4.

$$\sqrt{2\times 83+3}+\sqrt{83-2}=4$$

Simplifier. La valeur x=83 ne satisfait pas l’équation.

$$22=4$$

Remplacez x par 3 dans l’équation \sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}=4.

$$\sqrt{2\times 3+3}+\sqrt{3-2}=4$$

Simplifier. La valeur x=3 satisfait à l’équation.

$$4=4$$

L’équation \sqrt{2x+3}=-\sqrt{x-2}+4 a une solution unique.

$$x=3$$